Que cette batterie se vide si vide, c'est qu'elle a un problème elle-même.
Faudrait que tu la recharge correctement dans une journée, puis que tu la monte un soir et tu mesure sa charge (après un repos d'une heure ou deux) à ce moment-là. Elle devrait être à 12,8 Volts environ.
Puis tu la mesure le lendemain avant de démarrer, pour voir si elle maintient sa charge, ou bien si elle a un défaut (baisse du voltage : 0,2 volts ou plus), ou bien encore si quelque chose lui tire dessus pendant la nuit.
Enfin, si elle tient la charge, tu teste les démarrage et tu la mesure ensuite pour voir comment elle "vit" son fonctionnement basique (une batterie en état normal peut subir sans faiblir une bonne vingtaine de tentative de démarrage de 5 secondes chacune, espacées de 10 secondes)